Les ensembles

Un ensemble est une collection non-ambigue d’objet distincts. C’est à dire que l’on peut définir ce qui relie tous les objets, et que les objets ne peuvent apparaitre qu’une seule fois dans l’ensemble.

Voici quelques exemples d’ensembles :

• Des ensembles finis de nombres : $$\begin{gathered} A= \\ 0,1,2,5,9,11 \end{gathered}$$
• Des ensembles finis de noms : $$\begin{gathered} B= \\ AlainDupont,B\acute{e}atriceDurant,LinelHicq,NadineTudor \end{gathered}$$
• Des ensembles infinis : $$\begin{gathered} C= \\ 1,2,3,4,5,... \end{gathered}$$

On défini un ensemble par la caractéristique commune à tous les éléments

$$\begin{gathered} A= \\ x|x\in \mathbb{N} \end{gathered}$$

Cette notation fait appel à la notion de préciats que l’on a vu plus tôt, voir ici, car on a un prédicat sur la variable $x$

$$\begin{gathered} A= \\ x|P(x) \end{gathered}$$

Quand un ensemble ne contient aucun élément on dit que c’est un ensemble “vide”

$$\begin{gathered} B= \\ \varnothing \end{gathered}$$

Cardinalité des ensembles

Pour connaitre le cardinal d’un ensemble, il suffit de compter ses éléments.

• Si c’est un ensemble vide ($\varnothing$), alors le cardinal est 0
• Si c’est un ensemble qui contient d’autres ensembles, on ne fait que compter les ensembles (sans leur contenu)

Ainsi pour l’ensemble suivant :

$$\begin{gathered} A= \\ A \\ , \\ A,C \\ ,B, \\ B,C,D,E \\ ,D, \\ D,E \\ ,H \end{gathered}$$

Cet ensemble a un cardinal de 7.

Les relations entre les ensembles

• L’égalité. C’est à dire que $a$ appartient à $b$ et $b$ appartient à $a$. → $\forall x\in E,(x\in A)⟺(x\in B)$

En plus de l’égalité on a aussi les opérations ensemblistes : Attention comme dans tous les ensembles il n’y a pas besoin de répèter les nombres.

Nom	Expression mathématique	Description
L’union	$$\begin{gathered} A\cup B= \\ x\Vert x\in A\vee x\in B \end{gathered}$$	soit tous les éléments qui sont dans A ou qui sont dans B
L’intersection	$$\begin{gathered} A\cap B= \\ x\Vert x\in A\wedge x\in B \end{gathered}$$	soit tous les éléments qui sont dans A et qui sont dans B
La différence	$A\setminus B$ ou $$\begin{gathered} A-B= \\ x\Vert x\in A\wedge x\notin B \end{gathered}$$	tous les éléments qui sont dans A mais pas dans B
La différence symétrique	$$\begin{gathered} A\oplus B= \\ x\Vert (x\in A\wedge x\notin B)\cup (x\notin A\wedge x\in B) \end{gathered}$$	Tous les éléments qui sont uniquement dans A + tous les éléments qui sont uniquement dans B

Résoundre les diagrammes de Eulen-Venn

Pour arriver à trouver un les éléments d’un diagramme qui correspondent à une expression ensembliste, j’essaye de trouver des patterns dans l’expression.

Voici les patterns que j’ai identifiés :

• $A\cup B$ ou $A\setminus \overline{B}$ → Tous les éléments de A et tous les éléments de B (en faisant attention à ne pas répèter un même élément)
• $A\cap B$ → Les éléments communs à A et B
• $A\setminus B$ ou $A\cap \overline{B}$ → On prends les éléments de A et on retire ceux qui sont dans B
• $\overline{A}\setminus \overline{B}$ ou $\overline{A}\cap B$ → On prends les éléments de B et on retire ceux qui sont dans A
• $A\cup \overline{B}$ → Tous les éléments de B + tous les éléments qui ne sont pas dans A (en faisant attention à ne pas répèter plusieurs fois un même élément)
• $\overline{A}\setminus B$ ou $\overline{A}\cap \overline{B}$ → on prends tout sauf A et B